ھڪڙي پيچيده نمبر کي قدرتي طاقت ڏانھن وڌائڻ

هن اشاعت ۾، اسان غور ڪنداسين ته ڪيئن پيچيده نمبر کي طاقت تائين وڌايو وڃي (جنهن ۾ ڊي مووير فارمولا استعمال ڪندي). نظرياتي مواد بهتر سمجھڻ لاءِ مثالن سان گڏ آهي.

ھڪڙي پيچيده نمبر کي طاقت ڏانھن وڌائڻ

پهرين، ياد رکو ته هڪ پيچيده نمبر عام فارم آهي: z = a + bi (الجبريڪ فارم).

هاڻي اسان سڌو سنئون مسئلي جي حل ڏانهن اڳتي وڌائي سگهون ٿا.

چورس نمبر

اسان درجي جي نمائندگي ڪري سگھون ٿا ساڳئي عنصر جي پيداوار جي طور تي، ۽ پوء انھن جي پيداوار کي ڳولي سگھون ٿا (جڏھن ته ياد رکو i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

مثال 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

توھان پڻ استعمال ڪري سگھو ٿا، يعني رقم جو چورس:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi - ب²

نوٽ: ساڳيءَ طرح، جيڪڏهن ضروري هجي ته، فرق جي چورس، مجموعو/فرق جو ڪعب، وغيره لاءِ فارمولا حاصل ڪري سگهجن ٿا.

نائين درجي

ھڪڙو پيچيده نمبر وڌايو z جنس ۾ n تمام آسان جيڪڏھن ان کي ٽريگونوميٽرڪ شڪل ۾ پيش ڪيو وڃي.

ياد رهي ته، عام طور تي، هڪ نمبر جو اشارو هن طرح نظر اچي ٿو: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

وضاحت لاء، توهان استعمال ڪري سگهو ٿا De Moivre جو فارمولا (اھو نالو انگريزي رياضي دان ابراھيم ڊي مووير جي نالي پٺيان):

zⁿ = | ز|ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

فارمولا حاصل ڪيو ويندو آھي لکڻ سان ٽرگنوميٽرڪ فارم ۾ (ماڊيول ضرب ڪيا ويا آھن، ۽ دليل شامل ڪيا ويا آھن).

مثال طور 2

ھڪڙو پيچيده نمبر وڌايو z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) اٺين درجي تائين.

حل

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).