هڪ فنڪشن جي حد ڇا آهي

هن اشاعت ۾، اسان رياضياتي تجزيي جي بنيادي تصورن مان هڪ تي غور ڪنداسين - فنڪشن جي حد: ان جي تعريف، ۽ عملي مثالن سان گڏ مختلف حل.

فنڪشن جي حد جو تعين ڪرڻ

فنڪشن جي حد - اها قيمت جنهن ڏانهن هن فنڪشن جو قدر وڌي ٿو جڏهن ان جو دليل محدود نقطي ڏانهن وڌي ٿو.

رڪارڊ جي حد:

• حد آئڪن طرفان ظاهر ڪيل آهي چون ٿا;
• هيٺ ان کي شامل ڪيو ويو آهي ته فنڪشن جو دليل (متغير) ڪهڙي قدر ڏي ٿو. عام طور تي هي x، پر ضروري ناهي، مثال طور:x→1″؛
• پوءِ فنڪشن پاڻ کي ساڄي پاسي شامل ڪيو ويو آهي، مثال طور:

  

اهڙيء طرح، حد جو آخري رڪارڊ هن طرح ڏسڻ ۾ اچي ٿو (اسان جي صورت ۾):

وانگر پڙهندو آهي "فعل جي حد جيئن x اتحاد ڏانهن اشارو آهي".

x→ 1 - هن جو مطلب اهو آهي ته "x" مسلسل قدرن تي کڻندو آهي جيڪي لامحدود طور تي اتحاد جي ويجهو آهن، پر ان سان ڪڏهن به ٺهڪندڙ نه ٿيندو (اهو پهچي نه سگهندو).

فيصلي جي حد

ڏنل نمبر سان

اچو ته مٿين حد کي حل ڪريون. هن کي ڪرڻ لاء، صرف فنڪشن ۾ يونٽ کي متبادل بڻايو (ڇاڪاڻ ته x→1):

اهڙيءَ طرح، حد کي حل ڪرڻ لاءِ، اسان پهرين ڪوشش ڪريون ٿا ته ڏنل نمبر کي ان جي هيٺان فعل ۾ بدلائي ڏيو (جيڪڏهن x ڪنهن مخصوص نمبر ڏانهن هجي).

لاتعداد سان

انهي صورت ۾، فنڪشن جو دليل لامحدود وڌائي ٿو، اهو آهي، "ايڪس" لامحدود (∞) ڏانهن اشارو ڪري ٿو. مثال طور:

If x→∞، پوءِ ڏنل فنڪشن مائنس لامحدود (-∞) ڏانهن وڌي ٿو، ڇاڪاڻ ته:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 - 1000 - 997 وغيره.

ٻيو وڌيڪ پيچيده مثال

هن حد کي حل ڪرڻ لاء، پڻ، صرف قدر وڌايو x ۽ هن معاملي ۾ فنڪشن جي "رويي" کي ڏسو.

• رџ x = 1، يار = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• رџ x = 10، يار = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• رџ x = 100، يار = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

ان ڪري ، لاءِ "ايڪس"لامحدوديت ڏانهن ڌيان ڏيڻ ، فعل x² + 3x - 6 اڻڄاتل طور تي وڌندو آهي.

غير يقيني صورتحال سان (x لاتعداد لامحدود)

هن معاملي ۾، اسان حدن جي باري ۾ ڳالهائي رهيا آهيون، جڏهن فنڪشن هڪ فريڪشن آهي، جنهن جو عدد ۽ ڊنوميٽر پولينوميل آهن. جنهن ۾ "ايڪس" لامحدوديت ڏانهن وڌي ٿو.

مثال طور: اچو ته هيٺ ڏنل حد جو اندازو لڳايو.

حل

انگن ۽ ڊنومنيٽر ٻنهي ۾ اظهار لامحدوديت ڏانهن ويندا آهن. اهو فرض ڪري سگهجي ٿو ته هن معاملي ۾ حل هن ريت ٿيندو:

بهرحال، تمام سادو ناهي. حد کي حل ڪرڻ لاء اسان کي هيٺين ڪرڻ جي ضرورت آهي:

1. ڳوليو x عدد لاءِ سڀ کان وڌيڪ طاقت (اسان جي صورت ۾، اهو ٻه آهي).

2. ساڳي طرح، اسان وضاحت ڪريون ٿا x ڊنومنيٽر لاءِ سڀ کان وڌيڪ طاقت تائين (ٻن جي برابر پڻ).

3. ھاڻي اسان ٻنهي عددن ۽ ڊنومينيٽر کي ورهايون ٿا x سينئر درجي ۾. اسان جي حالت ۾، ٻنهي صورتن ۾ - سيڪنڊ ۾، پر جيڪڏهن اهي مختلف هئا، اسان کي اعلي درجي وٺڻ گهرجي.

4. نتيجي جي نتيجي ۾، سڀئي جزا صفر ڏانهن ويندا آهن، تنهن ڪري جواب 1/2 آهي.

غير يقيني صورتحال سان (x هڪ مخصوص نمبر ڏانهن اشارو آهي)

ٻئي نمبر ۽ ڊنوميٽر پولنوميٽر آهن، جڏهن ته، "ايڪس" هڪ مخصوص نمبر ڏانهن، نه لامحدود ڏانهن.

انهي حالت ۾، اسان شرطن سان اسان جون اکيون بند ڪريون ٿا حقيقت اها آهي ته ڊيمومينٽر صفر آهي.

مثال طور: اچو ته هيٺ ڏنل فنڪشن جي حد ڳوليون.

حل

1. پهرين، اچو ته نمبر 1 کي فنڪشن ۾ متبادل بڻايون، جنهن ۾ "ايڪس". اسان فارم جي غير يقيني صورتحال حاصل ڪريون ٿا جيڪو اسان غور ڪري رهيا آهيون.

2. اڳتي هلي، اسان انگن ۽ ڊنومينيٽر کي فڪٽرن ۾ ٽوڙيو. هن کي ڪرڻ لاء، توهان استعمال ڪري سگهو ٿا مختصر ضرب فارمولا، جيڪڏهن اهي مناسب آهن، يا.

اسان جي صورت ۾، انگ ۾ اظهار جي جڙ (2x² - 5x + 3 = 0) نمبر 1 ۽ 1,5 آهن. تنهن ڪري، ان جي نمائندگي ڪري سگهجي ٿو: 2(x-1)(x-1,5).

فرق ڪندڙ (x-1) شروعاتي طور تي سادي آهي.

3. اسان کي اهڙي تبديل ٿيل حد ملي ٿي:

4. حصو گھٽائي سگھجي ٿو (x-1):

5. اهو صرف رهي ٿو 1 نمبر کي متبادل ڪرڻ لاءِ حد هيٺ حاصل ڪيل اظهار ۾: